Sözlük

Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…

Çemberler ve PiDerece ve Radyan

Okuma zamanı: ~25 min

Şimdiye kadar geometride açıları hep dereceler ile ölçtük. Bir tam çember dönmek °, yarım çember °, çeyrek çember ° gibi.

360 sayısı çok elverişli çünkü başka bir çok sayıya bölünebiliyor: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, vb. Bu çemberin pek çok parçasının da tam sayı olması demek. Peki ama hiç 360 sayısının nereden geldiğini merak ettiniz mi?

360 derece bugün hala kullanımda olan en eski matematiksel kavramlardan birisi. Antik Babilliler tarafından, 5000 yıldan evvel geliştirildi!

O zamanlar matematiğin en önemli uygulamalarından bir tanesi astronomiydi. Çiftçilerin ürün yetiştirirken bilmesi gereken dört mevsimi güneş belirliyordu. Benzer şekilde, balıkçılar için önemli olan gel-gitleri ay belirliyordu. İnsanlar geleceği tahmin etmek ya da tanrıyla iletişim kurmak için yıldızları inceliyordu.

2’yi hesaplamaya yarayan bir Babil tableti.

Astronomlar yılın belli bir zamanı gözlenebilen takım yıldızların her gün bir az hereket ettiğini fark ettiler, taa ki yaklaşık 360 gün sonra başladıkları noktaya geri dönene dek. İşte bu yüzden çemberi 360 dereceye bölmüş olabilirler.

${day}. günde gece yarısı

Tabi bir yılda aslında 365 gün var(tam olarak 365.242199), ancak Babilli matematikçiler basit güneş saatleri ile çalışıyordu, ve bu yaklaşım iyi bir yaklaşımdı.

Ayrıca zaten kullandıkları 60 tabanlı sayı sistemiyle de uyumluydu(6×60=360 olduğu için). Çoğu birimi 10 tabanında ölçmemize rağmen(mesela bir asırda 100 yıl var), bir dakikada 60 saniye ve bir saatte 60 dakika olmasının sebebi bu 60 tabanlı sistem.

Çoğumuz için açıları derecelerle ölçmek artık çok doğal: 360° videolar var, kaykaycılar 540° dönüş numaraları yapabiliyorlar, ve fikrini değiştiren birisi 180° dönebilir.

Ancak matematiksel bir bakış açısıyla 360 sayısı tamamen rastgele. Mars’ta yaşıyor olsaydık bir çember 670° olabilirdi, ve Jüpiter’deki bir yıl 10,475 gün.

540 McFlip, 540° lik bir dönüş

Radyan

Bir çemberi belli sayıda parçaya bölmek yerine(360 gibi), matematikçiler genelde açıyı ölçmek için bir birim çemberin (yarıçapı 1 olan bir çember) çevre uzunluğunu tercih eder.

Bir çevre uzunluğu dir.

karşılık gelen uzunluk dir.

karşılık gelen uzunluk dir.

Ve böyle devam eder: açıyı bu şekilde ölçmek radyandır.

Derece cinsinden her açının karşılık geldiği bir radyan ölçüsü vardır. İkisi arasında dönüşüm yapmak çok kolay, aynen metre ve kilometre ya da Celcius ve Fahrenheit arasında çeviri yapmak gibi:

360° = 2π rad


= rad


1 rad = °

Radyan değerlerini ya πnin katları olarak, ya da tek bir ondalık sayı olarak yazabilirsiniz. Derece ve radyan cinsinden verilmiş birbirine denk açılardan oluşan bu tabloyu doldurabilir misiniz?

degrees060180
radians0232π

Kat Edilen Mesafe

Ranyanı birim çemberinin çevresinin üzerinde “kat edilen mesafe” olarak düşünebilirsiniz. Bu özellikle çembersel bir yolda hareket eden cisimlerle çalışırken çok faydalı.

Örneğin Uluslararası Uzay İstasyonu her 1.5 saatte Dünyanın çevresinde bir tur atar. Bu da dönme hızı saatte radyan demek.

Bir birim çemberde dönme hızı gerçek hız ile aynıdır, çünkü çevre uzunluğu radyan cinsinden bir tam dönmeye karşılık gelir(ikisi de 2π) .

Uluslararası Uzay İstasyonunun yörüngesinin yarıçapı 6800 km, yani gerçek hızı = 28483 km bölü saat.

${round(p*1.5,1)}h

Bu örnekte radyanın dereceye göre çok daha kullanışlı olduğunu görebiliyor musunuz? Dönme hızını biliyorsak, gerçek hızı bulmak için sadece onu yarıçap ile çarpmamız yeterli.

Bu da başka bir örnek: arabanızın tekerleklerinin yarıçapı 0.25 m. Eğer 20 m/s hızla gidiyorsanız, arabanın tekerleri saniyede radyan hızında döner (ya da saniyede 802π=13 kez döner).

Trigonometri

Çoğu basit geometri problemi için dereceler ve radyanlar birbirinin yerine kullanılabilir, tercih ettiğiniz birisini seçebilirsiniz ya da bazen soru hangi birim cinsinden cevaplamanızı istediğinizi belirtir. Fakat daha ileri trigonometri ya da kalkülüs çalışırsanız radyanların derecelere göre çok daha kullanışlı olduğunu görürsünüz.

Çoğu hesap makinesinde dereceler ve radyanlar arasında geçiş yapmak için özel bir tuş bulunur. sin, cos ve tan gibi trigonometrik fonksiyonlar girdilerini açı olarak alırlar, ve arcsin, arccos ve arctan gibi ters fonksiyonlar çıktılarını açı olarak verirler. Hesap makinesi ayarlarınız bu açılar için hangi birimlerin kullanılacağını belirler.

Bu hesap makinesini kullanarak şunu hesaplamayı deneyin:

sin(30°) = cos(1°) =
sin(30 rad) = cos(1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

Radyan kullanmanın sinüs fonksiyonu ile çalışırken özellikle ilginç bir avantajı vardır. Eğer θ çok küçük bir açıysa( 20° ya da 0.3 radyandan küçükse), o zaman sinθθ olur. Örneğin

sin(${x}) ${sin(x)}

Buna küçük açı yaklaşımı denir ve trigonometrik fonksiyonları içeren kimi denklemleri çok sadeleştirebilir. Bununla ilgili ileride daha çok şey öğreneceksiniz.