Dili değiştir

English中文DeutschRomânăРусскийTürkçe

Mathigon'da oturum açın

ya da

Yeni hesap     Şifreyi yenile     

Öklid Geometrisi
Giriş
Öklid’in Aksiyomları
Pergel ve çizgilik çizimleri
Daha da fazla inşaat
Açılar ve Kanıtlar
Origami and Kağıt Katlama

Paylaş

İlerlemeyi Sıfırla

Bu, bu kurstaki tüm bölümler için ilerleme durumunuzu ve sohbet verilerinizi silecek ve geri alınamaz!

Sözlük

Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…

Öklid GeometrisiPergel ve çizgilik çizimleri

Okuma zamanı: ~15 min

Öklid’in beş aksiyomunun uzunluk ve açı ölçme hakkında hiçbir şey içermediğini fark etmiş olabilirsiniz. Şimdiye kadar, alan ve hacim hesaplamalarında çok önemli bir noktaydı.

Ancak, Tales ya da Öklid’in yaşadığı zamanlarda bugün olduğu gibi evrensel ölçü birimleri yoktu. Uzunluklar, parmak genişliği ya da kol uzunluğu gibi çoğunlukla vücut parçalarıyla belirtiliyordu. Bu birimler çok da kesin değil ve insandan insana değişiklik gösterebiliyor.

Uzun mesafeleri ölçebilmek için mimarlar ya da araştırmacılar düğümlenmiş ipleri kullanıyorlardı. Düğümlenmiş ipler eşit aralıklarla düğümlenmiş ip parçalarından oluşuyordu. Ama bu yöntem de yeterince kesin sonuçlar vermiyordu. Farklı ipler farklı yerlerden düğümlenebiliyordu.

Yunan matematikçiler bu yaklaşımlarla uğraşmak istemediler. Geometrinin pratik uygulamalarındansa altında yatan kurallara daha çok ilgi gösterdiler.

Bu nedenle evrenimizin daha idealleştirilmiş versiyonuyla çıkageldiler; bir noktanın boyutu, bir çizgininse genişliği olamaz. Tabi ki bir kağıda boyutu ya da genişliği olmayan şeyleri çizmek . Görünür noktalar hep biraz yer kaplayacaktır ve çizgilerin her zaman genişliği olacaktır. İşte bu yüzden bizim çizimimiz her zaman bir “yaklaşımdır”.

Aslında Öklid’in aksiyomları, kendi geometri versiyonunda neyin mümkün olduğunu söyler. Çizebilmek için iki çok basit araca ihtiyacımız olduğu ortaya çıkıyor:

Düz kenar, üzerinde işaretler olmayan bir cetvel gibidir. Bunu iki noktayı birleştirmek için (1. Aksiyom’da olduğu gibi), ya da bir çizgiyi uzatmak için kullanabilirsiniz (2. Aksiyom’da olduğu gibi)

Pergel, bir nokta etrafında belirli bir çapta çember çizmeye yarar (3. Aksiyom’da olduğu gibi).

  1. ve 5. Aksiyomlar bir şeyleri çizmekten çok şekillerin özelliklerini karşılaştırmak ile alakalıdır. Bu yüzden özel araçlara ihtiyaç duymazlar.

Yunan bir matematikçinin sahilde kumda düz kenar yerine uzun tahtalarla, pergel yerine ip parçalarıyla değişik şekiller çizerek geometri hakkında düşündüğünü hayal edebilirsiniz.

Bu aletler ne kadar ilkel görünseler de bunlarla çok fazla sayıda şekil çizebilirsiniz. Pergel ve düz kenar kullanarak değişik geometrik şekiller “inşa” edebilmenin yollarını bulmaya çalışmak matematikçiler için adeta bir yapboz oyununa dönüştü.

Arşimet Romalı istilacılar tarafından öldürülmeden hemen önce geometri çalışıyordu. Son sözü “çemberlerimi bozmayın” olmuştur.

Pergel ve düz kenar ile eşkenar üçgen çizimi.

Başlangıç için, sol üstteki kutucuklardan çizgi kutucuğu ile çizgi çiziyoruz. Seçili çizgi kutucuğu ile basitçe bir noktadan diğerine sürüklüyoruz. Bu parça eşkenar üçgenin bir kenarını oluşturacak.

Sırada çizgi üzerindeki bir noktayı merkez kabul edip diğer noktada biten iki çember çizmek var. Çember kutucuğu ile basitçe bir noktadan diğerine sürüklüyoruz.

Şimdiden üçgenimizin iki köşesi oluştu ve üçüncüsü de iki çemberin kesiştiği nokta olacak. Yine çizgi kutucuğunu kullanarak üçgenin kayıp iki kenarını oluşturup üçgeni tamamlayabilirsiniz.

Şimdi bu iki kenar ve bu iki kenarlar çemberin , o zaman aynı uzunlukta olmalılar. Başka bir deyişle üçgenin üç kenarı birbirlerine denktir. Bu yüzden bu üçgen aslında eşkenar üçgendir.

Ortanoktalar, Dik Açıortaylar

ÇOK YAKINDA – ORTANOKTALAR VE DİK AÇIORTAYLARI OLUŞTURMA

Açıortaylar

ÇOK YAKINDA – AÇIORTAYLARI OLUŞTURMA

İmkansız Yapılar

İlerleyen derslerde bu yöntemlerle inşa edilebilecek daha fazla şekil göreceğiz. Ancak Öklid geometrisinin bir sınırı vardır; bazı yapılar ınsadece pergel ve düz kenarla inşa edilmesi imkansızdır.

Efsaneye göre bir zamanlar bir Antik Yunan şehri olan Dilos, korkunç bir hastalık ile boğuşur. Delfi’deki kahin, bu hastalığın tanrıların bir cezası olduğunu ve eğer tapınaklarındaki mevcut olan sunağın hacminin iki katı kadar olan yeni bir sunak inşa ederlerse hastalığın biteceğini söyler.

Delfi’deki tapınağın bir modeli

Şunu unutmamalıyız ki hacmi ikiye katlamak bir kübün kenarını ikiye katlamakla aynı şey değildir. Aslında eğer hacim 2 kat artarsa, kübün kenarı 23 kadar artacaktır.

Kulağa kolay geliyor ama sadece pergel ve düz kenar kullanarak bir kübü iki katına çıkarmak aslında Öklid geometri’sinde imkansızdır! Diloslular için bu ne yazık ki hiç umudun olmadığı anlamına geliyor. İnşa edilmesi imkansız üç ünlü yapı daha var. Matematikçiler bir sonuç bulabilmek içn çok fazla zaman harcadılar. Ancak başarı elde edemediler.

Açıyı üçe bölme Açıları nasıl böleceğimizi biliyoruz. Ancak bir açıyı üç eşit parçaya bölmek imkansızdır.

Kübü ikiye katına çıkarma Bir kübün kenarı verildiğinde, bu kenardan hacmi iki kat fazla olan başka bir kübün kenarını elde etmek imkansızdır.

Çemberi kareleştirme Bir çember verildiğinde, bu çemberden çember ile aynı alan sahip bir kare elde etmek imkansızdır.

Şunu unutmamalıyız ki bu problemler cebir veya cetvel ve iletki kullanılarak kolayca çözülebilirler. Ama eğer sadece cetvel ve düz kenar kullanmanıza izin verildiyse imkansızdır.

Archie