Sözlük

Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…

FraktallarSierpinski Üçgeni

Okuma zamanı: ~20 min

Önceki bölümde gördüğümüz fraktallardan biri de, Polonyalı matematikçi Wacław Sierpiński tarafından adlandırılan Sierpinski üçgeni idi. Bu şekil, büyük bir eşkenar üçgenle başlayıp, daha sonra merkezdeki daha küçük üçgenleri tekrar tekrar keserek oluşturulabilir.

Wacław Sierpiński bu üçgenin özelliklerini düşünen ilk matematikçi idi, ancak bu desen, sanat ve mozaiklerde yüzyıllar önce ortaya çıkmıştı bile.

Roma'daki farklı kiliselerdeki yer döşemelerinden bazı örnekler:

Görünüşe göre, Sierpinski üçgeni matematiğin de içinde olduğu geniş bir yelpazede karşımıza çıkıyor ve onu oluşturmanın birçok farklı yolu var. Bu bölümde, bu yolların bazılarını keşfedeceğiz!

Pascal Üçgeni

Sierpinski üçgenini Pascal’ın üçgeni ile ilgili bölümümüzden hatırlıyor olabilirsiniz. Pascal Üçgeni, her sayının, üst satırındaki iki sayının toplamı olduğu bir sayı piramidi. Aşağıdaki üçgendeki tüm çift sayıları tıklayın - oluşan desen tanıdık geldi mi?:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1

Pascal üçgeni sonsuza kadar aşağıya doğru devam edebilir ve Sierpinski modeli daha büyük ve daha büyük üçgenlerle devam eder. Daha büyük bir üçgenin başlangıcını, 16. satırdan başlayarak görebilirsiniz.

İki bitişik hücre 2 ile bölünebilirse, altındaki hücredeki toplamları da 2 ile bölünebilir olmalıdır - bu yüzden sadece renkli üçgenler alabiliriz. Elbette, 2_ dışındaki _sayılara bölünebilen tüm hücreleri boyamayı da deneyebiliriz. Bu durumda ne olacağını tahmin edebilir misiniz?

Divisible by ${n}:

Burada Pascal’ın üçgeninin ilk 128 satırını gösteren küçük bir versiyonunu görebilirsiniz. ${n} ile bölünebilen tüm hücreleri sırası ile seçtik - Ne fark ettiniz?

Her sayı için Sierpinski üçgenine benzeyen farklı bir üçgen elde ederiz. Bir seçersek, oluşacak desen daha düzgün olur. Seçilen sayının _birçok farklı asal faktörü varsa, desen daha rastgele görünür._

Kaos Oyunu

Burada bir eşkenar üçgenin üç köşesini görebilirsiniz. Dördüncü bir nokta oluşturmak için gri alanda herhangi bir yere dokunun.

Şimdi basit bir oyun oynayalım: üçgenin köşelerinden birini rastgele seçiyoruz, noktamızla köşe noktası arasında bir doğru parçası çiziyoruz ve sonra o parçanın orta noktasını buluyoruz.

Şimdi işlemi tekrarlıyoruz: başka bir rastgele köşe seçiyoruz, doğru parçasını son noktamızdan çiziyoruz ve sonra yine orta noktayı buluyoruz. Bu yeni noktaları, seçtiğimiz köşe noktasının rengine göre renklendirdiğimizi unutmayın.

Şimdiye kadar şaşırtıcı bir şey olmadı - ama aynı işlemi çok daha fazla tekrarladığımız zaman neler olduğunu izleyin:

Bu işleme Kaos Oyunu adı verilir. Başlangıçta sadece birkaç başıboş nokta olarak görülen desen, aynı adımları birçok kez tekrarladığımızda, Sierpinski üçgeni gibi görünmeye başlar!

Bu oyunun birçok versiyonu var - örneğin, bir kare veya beşgen ile başlayabiliriz, aynı köşeyi arka arkaya iki kez seçememek veya bir sonraki noktayı12 dışında bir oranda seçmek gibi ek kurallar ekleyebiliriz. Bu vakaların bazılarında, rastgele rastgele bir dağılım elde etsek de, diğer durumlarda bir çok farklı fraktal ortaya çıkarabiliriz:

Triangle
Square
Pentagon

veya bu Altın oran 'ı seçerek keşfedebildiniz mi?

Hücresel Otomata

Bir hücresel otomatı birçok ayrı hücreden oluşan bir ızgaradır. Her hücre farklı "durumlarda" (örneğin farklı renklerde) olabilir ve her hücrenin durumu çevresindeki hücreler tarafından belirlenir.

Bu örnekte, her hücre siyah veya beyaz olmalıdır. Sadece tek bir siyah kare içeren bir satırla başlayalım. Takip eden her satırda, her hücrenin rengi, hemen üstündeki üç hücre tarafından belirlenir. Hücrelerin renklerini çevirmek için aşağıdaki sekiz olası seçenekten birine dokunun - Sierpinski üçgenine benzer bir desen oluşturan bir dizi kural bulabilir misiniz?

Sekiz seçeneğin her biri için iki seçenek vardır, yani toplamda 28= olası kural vardır. Bu kurallardan, gibi bazıları Sierpinski üçgenine benzerken gibi diğerleri tamamen kaotik görünüyor. Bu, 1983 yılında Stephen Wolfram tarafından keşfedildi ve bilgisayarlar bu seçenekleri rastgele sayılar üretmek için bile kullanabilirler!

Hücresel otomatlar, tıpkı fraktallar gibi çok basit kurallarla nasıl oldukça karmaşık desenlerin oluşturulabileceğini gösterirler. Doğada da birçok süreç basit kuralları takip ederek oluşup inanılmaz derecede karmaşık sistemler üretebilir.

Bazı durumlarda, örneğin bu salyangozun kabuğundaki renklerin oluşması gibi, hücresel otomatlara benzeyen desenlerin ortaya çıkmasına sebep olabilir.

Conus tekstil, zehirli bir deniz salyangozu

Sierpinski Piramidi

Sierpinski üçgeninin birçok çeşidi olduğu gibi, benzer özelliklere ya da yaratma süreçlerine sahip başka bazı fraktallar da vardır. Bazıları, yukarıda gördüğünüz Sierpinski Halısı gibi 2 boyutlu olup, diğerleri bu örnekler gibi 3 boyutlu olabilir:

Sierpinski Tetrahedra

Sierpinski Piramidi

Archie