İkinci dereceden denklemlerGiriş

Kaykay üreten küçük bir şirket olan SkateSum’a hoş geldiniz. Mühendisler bir süredir yepyeni bir model olan SquareBoard üzerinde çalışıyordu. Nihayet bu model üretime hazır. Siz de kaykayların en ideal perakende satış fiyatını bulmak üzere görevlendirildiniz – görünüşe bakılırsa üretimin maliyeti ucuz değil:

• Kaykayların üretimi için gerekli olan aletler ve makinelerin maliyeti 5,000$. Buna genelde sabit gider denir.
• Buna ek olarak kaykay başına tahta, diğer materyaller ve çalışanların maaşı için 30$ harcanır. Bu da genelde değişken gider olarak adlandırılır.

Diğer bir değişle, n kaykay üretmenin __maliyet__i

maliyet = .

Yeni kaykayı bekleyen birçok insan var; ama eğer fiyatı çok yüksek olursa, o zaman daha az sayıda insan alır. Bu durumu, kaykayın fiyatını x-ekseninde ve kaykayı belirtilen fiyata göre almak isteyen insan sayısını (talep) da y-ekseninde gösterdiğimiz bir grafikle anlatabiliriz.

Aşağıdaki grafiklerin hangisi fiyat ve talep arasındaki ilişkiyi en iyi şekilde gösterir?

Yüksek fiyat daha az insanın kaykay alması demektir. Bu yüzden, fiyat yükseldikçe fonksiyonun grafiği aşağı doğru iner. İktisatçılar, biraz pazar araştırması yaptıktan sonra şu denklemi bulmuşlar:

talep = 2800 – 15 × fiyat

Mesela, eğer bir kaykayın fiyatı 80$ olursa, talep de tane olacaktır.

Şirketimizin __ciro__su toplamda elde edilen geliri ifade eder. Ciroyu, sattığımız kaykay sayısı (talep) ile bir kaykayın fiyatını çarptığımızda elde ederiz:

ciro = talep × fiyat

Fakat bizim asıl ilgilendiğimiz şey kâr; kaykayları satarak elde ettiğimiz toplam gelirden maliyeti çıkardığımızda kalan miktar. Sadece kaykayın fiyatını kullanarak şirketin kârını gösteren bir denklem elde edebilir misiniz?

Dikkatle bakarsanız bu denklemde fiyat ile birlikte fiyat2 ifadesini de görüyoruz. Bu tarz denklemlere İkinci Dereceden Denklemler, denir. (Bu denklemlerin ingilizce ismi olan “quadratic equations” latincede ‘kare’ anlamına gelen “quadratus” kelimesinden gelir.)

En yüksek kârı nasıl elde edeceğimizi bulmak için birkaç farklı fiyat kullanarak kârımızı hesaplayalım:

Bu noktaların hepsini koordinat sisteminde gösterebiliriz ve bir doğru ile bunları birleştirebiliriz:

Hatırlarsanız lineer fonksiyon un grafiği her zaman bir doğru şeklindedir. Ama yukarıda gördüğünüz gibi, ikinci dereceden fonksiyonun grafiği eğriseldir. Bu fonksiyonların özel bir ismi bile vardır: Parabol.

Eğer fiyat 0 ise, o zaman kârımız negatif olur çünkü pahalı kaykayları ücretsiz veriyoruz. Fiyat arttıkça kârımız da artar. Fakat, eğer kaykaylar çok pahalı olursa, o zaman da insanlar artık onları satın almak istemez ve kârımız tekrar düşer.

En fazla kârı, kaykayları yaklaşık olarak $ a satarak elde edebiliriz.

Gerçek hayatta şirketlerin kârları için belli bir denklem bulmaları oldukça zordur. Ayrıca, böyle bir denklem bulmak, bu örnekten çok daha karmaşık olabilir.

Yine de ikinci dereceden denklemler, doğanın her yerinde, mühendislik ve iktisadın her alanında karşımıza çıkar. Bu derste ikinci dereceden denklemleri çözmek ve ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini anlamak için farklı yöntemler öğreneceksiniz.