Sözlük

Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…

Bölünebilme ve AsallarEn Büyük Ortak Bölenler

Okuma zamanı: ~10 min

Bir mimar bahçesinin uzunlukları 18m ve 30m olan bir kat planlıyor. Bu mimar bu bahçeyi kare fayanslarla boşluksuz veya üstüste gelmeden kaplamak istiyor. Kullanabileceği en büyük kare fayansın bir kenarının uzunluğu kaçtır?

Fayansın bir kenarının uzunluğu ${x} metredir.

Tıpkı daha önce olduğu gibi, bu soru da geometri sorusu değil - bölünebilmeyle ilgili bir soru. Kare fayansın bir kenarının uzunluğu 18 ve 30'u bölmeli ve bu koşulu sağlayan en büyük sayı 'dır. Bu sayıya 18 ve 30'un En Büyük Ortak Böleni veya ebob denir.

Bir kez daha, iki sayının ebob'unu hesaplamak için asal çarpanlarına ayırmayı kullanıyoruz. Bir sayının herhangi bir böleninin o sayının asal çarpanlarından bazılarını içerdiğini

18
=
2
×
3
×
3
30
=
2
×
3
×
5

X sayısının 18 ve 30'un ebob'u olduğunu varsayalım. O zaman X sayısı 18'i böler o zaman X'in asal çarpanları 2, 3 ve 3 arasından olmalı. Ayrıca, X sayısı 30'u böler o zaman X'in asal çarpanları 2, 3 ve 5 arasından olmalı.

X'i bulmak için, basitçe 18 ve 30 sayılarından asal çarpanlarını çarpmamız yeterli olacaktır:

X  =  2 × 3  =  6.

Artık iki sayının ebob'unu bulmak için kolay bir yöntemimiz var:

  1. Her sayının asal çarpanlarını bul.
  2. İki sayının da ortak asal çarpanlarını çarp.

Asal sayılar için yine bir özel durum: iki asalın ebob'u her zaman 'dir çünkü asalların ortak asal çarpanları yoktur.

Şifreleme

Asal sayıların en önemli uygulamalarından birisi de matematiğini Şifreleme alanıdır. Binlerce yıldır, insanlar mesajları sadece alıcının okuyabileceği şekilde şifrelemeyi denedirler - buna şifremele denir. Bu yöntemler generallerin savaş sırlarını paylaşmasından kişisel e-postalara veya çevrimiçi banka hizmetlerine kadar kullanıldı.

İnsanlar her zaman daha iyisini, daha güvenilir şifreleme yöntemlerini bulmaya çalıştı ancak öyle bir zaman geldi ki ileri algoritmalar sayesinde hepsi çözüldü. İkinci Dünya Savaşı sırasında, Alman ordusu Enigma'yı kullanıyordu: Klavye, döner tekerler ve fişleri kullanan karmaşık bir makine. Mesajları 158 milyon milyon milyon (158 ve 18 tane 0!) olasılıktan biriyle şifreliyordu. Bu kodun çözülemez olduğuna inanılıyordu ki İngiliz Gizli Servisi matematikçi Alan Turing önderliğinde Enigma'yı çözmeye yarayan ilk bilgisayarlardan birini üretmişti.

4 rotorlu Alman Enigma'sı

Bugünün bilgisayarları çok daha gelişmiş, her saniye milyonlarla olasılığı deneyebilecek durumda. Daha iyi şifreleme algoritmaları geliştirmek için güçlü bilgisayarlar için bile zor olacak matematiksel işlemler bulmalıyız. Bilgisayalar toplama, çıkarma, çarpma ve bölmede inanılmaz hızlılar fakat, ortaya çıktığı gibi, büyük sayıları asal çarpanlarına ayırmada oldukça yavaşlar...

YAKINDA – Alice ve Bob ile RSA örneği

Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman tarafından 1997'de yayınlanan algoritmanın adı RSA Şifrelemesi'dir. Bu, 1973'te İngiliz Gizli Servisi'ninkine çok benzeyen bir yöntemi ortaya çıkardı fakat çok geç olana kadar gizli kaldı.

Bugün, asal sayılar dünyanın her yerinde veri alışverişinde bilgisayarlar tarafından kullanılıyorlar. İnternette gezinirken veya mesajlaşırken, telefonunuz veya bilgisayarınız sessizce çok büyük asal sayılar oluşturuyor ve ortak anahtarlarla beraber diğer bilgisayarlarla değiş tokuş ediyor.