Sözlük

Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…

Çokgenler ve ÇokyüzlüPlatonik Katılar

Okuma zamanı: ~35 min

Bu dersin başlangıcında, düzenli çokgenleri özellikle tüm kenarların ve açıların aynı olduğu “simetrik” çokgenler olarak tanımladık. Çokyüzlü için benzer bir şey yapabiliriz.

Normal bir polihedronda tüm yüzler aynı türdeki çokgenlerdir ve aynı sayıda yüz her tepe noktasında toplanır. Bu iki özelliğe sahip olan polihedra , Yunan filozofu Platon'un adını taşıyan Platonik katılar olarak adlandırılır.

Peki Platonik katılar neye benziyor - ve kaç tanesi var? Üç boyutlu bir şekil yapmak için, her tepe noktasında buluşmak için en az yüze ihtiyacımız var. Sistematik olarak en küçük düzenli çokgenle başlayalım: eşkenar üçgenler:

Her köşede üç eşkenar üçgenin birleştiği bir çokyüzlü oluşturursak, soldaki şekli alırız. Tetrahedron denir ve yüzü vardır. (“Tetra” Yunanca “dört” anlamına gelir).

Dört eşkenar üçgen her tepe noktasında toplanırsa, farklı bir Platonik katı elde ederiz. Oktahedron denir ve yüzü vardır. (“Sekiz” Yunancada “sekiz” anlamına gelir. “Sekizgen” 8 taraflı şekil anlamına gelir gibi, “Oktahedron” 8 yüzlü katı anlamına gelir.)

Her köşede üçgen toplanırsa, Icosahedron'u alırız. yüzü vardır. (“Icosa” Yunanca “yirmi” anlamına gelir.)

Her köşede üçgen toplanırsa, farklı bir şey olur: sadece alırız , üç boyutlu bir polihedron yerine.

Ve her tepe noktasında yedi veya daha fazla üçgen de yeni polihedra üretmez: bir tepe noktasında o kadar çok üçgene sığacak kadar yer yoktur.

Bu, üçgenlerden oluşan Platonik katı bulduğumuz anlamına gelir. Bir sonraki normal çokgene geçelim: kareler.

Her köşede kare toplanırsa, küpü alırız. Tıpkı zar gibi yüzü var. Küp bazen Yunanca "altı" için "hexa" kelimesinden sonra _Hexahedron olarak da adlandırılır._

Her köşede kare varsa, alırız . Ve daha önce olduğu gibi, beş veya daha fazla kare de çalışmaz.

Sonra, düzenli beşgenleri deneyelim:

Her köşede beşgen toplanırsa, Dodecahedron'u alırız. yüzü vardır. (“Dodeca” Yunanca “on iki” anlamına gelir.)

Daha önce olduğu gibi, dört veya daha fazla beşgen değil çünkü yeterli alan yok.

Denenecek bir sonraki normal çokgen altıgenler:

Her köşede üç altıgen buluşuyorsa, hemen bir alırız . Üçten fazla yer olmadığı için altıgenlerden oluşan hiçbir Platonik katı yoktur.

Aynı şey altıdan fazla kenarı olan tüm normal çokgenler için de geçerlidir. Mozaik vermezler ve kesinlikle üç boyutlu çokgenler almayız.

Bu, sadece Platonik katı olduğu anlamına gelir! Hepsine birlikte bakalım:

dört yüzlü şekil

Yüz
Nokta
Kenar

Küp

Yüz
Tepe Noktaları
Kenar

sekizyüzlü

Yüz
Köşebent
Kenar

oniki yüzlü şekil

Yüz
20 Tepe Noktası
30 Kenar

ikosahedron

Yüz
12 Tepe Noktası
30 Kenar

Yüzlerin ve köşelerin sayısının nasıl dikkat edin küp ve oktahedronun yanı sıra dodecahedron ve icosahedron için söz konusudur , kenar sayısı . Bu Platonik katı çiftlerine çift katı denir.

Her yüzünü bir tepe noktasıyla ve her tepe noktasını bir yüzle “değiştirerek” bir çokyüzlüyü ikili haline getirebiliriz. Bu animasyonlar nasıl olduğunu gösterir:

Tetrahedron kendisiyle ikili. Aynı sayıda yüze ve köşeye sahip olduğundan, onları değiştirmek hiçbir şeyi değiştirmez.

Platon , Evrendeki tüm maddelerin dört elementten oluştuğuna inanıyordu: Hava, Toprak, Su ve Ateş. Her elementin Platonik katılardan birine karşılık geldiğini, beşinci elementin ise bir bütün olarak evreni temsil edeceğini düşündü. Bugün biliyoruz ki, polihedra değil, küresel atomlardan oluşan 100'den fazla farklı element var.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Arşimet Katıları

Platonik katılar özellikle önemli polihedradır, ancak sayısız başkaları da vardır.

Örneğin Arşimet katılar hala normal çokgenlerden oluşmalıdır , ancak birden fazla farklı tip kullanabilirsiniz. Başka bir Yunan matematikçi olan Syracuse Arşimetlerinin adını alıyorlar ve bunlardan 13 tane var:

Kesik Tetrahedron
8 yüz, 12 köşe, 18 kenar

Cuboctahedron
14 yüz, 12 köşe, 24 kenar

Kesik Küp
14 yüz, 24 köşe, 36 kenar

Kesik Oktahedron
14 yüz, 24 köşe, 36 kenar

Rhombicuboctahedron
26 yüz, 24 köşe, 48 kenar

Kesik Cuboctahedron
26 yüz, 48 köşe, 72 kenar

Snub Cube
38 yüz, 24 köşe, 60 kenar

Icosidodecahedron
32 yüz, 30 köşe, 60 kenar

Kesik Dodecahedron
32 yüz, 60 köşe, 90 kenar

Kesik İkosahedron
32 yüz, 60 köşe, 90 kenar

Rhombicosidodecahedron
62 yüz, 60 köşe, 120 kenar

Kesik İkosidodekahedron
62 yüz, 120 köşe, 180 kenar

Snub Dodecahedron
92 yüz, 60 köşe, 150 kenar

Uygulamalar

Platon, tüm elementlerin Platonik katılardan oluştuğuna inanmakta yanlıştı. Ancak düzenli polihedra, doğada başka yerlerde görünmelerini sağlayan birçok özel özelliğe sahiptir - ve bu özellikleri bilim ve mühendislikte kopyalayabiliriz.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

Birçok virüs , bakteri ve diğer küçük organizmalar ikosahedra şeklindedir. Örneğin virüsler, genetik materyallerini birçok özdeş protein ünitesinin bir kabuğunun içine koymalıdır. İkosahedron bunu yapmanın en etkili yoludur, çünkü birkaç düzenli elementten oluşur, ancak neredeyse bir küre gibi şekillendirilir.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

Birçok molekül düzenli polihedra şeklindedir. Bunun en ünlü örneği C60 bu, bir Kesik İkosahedron şeklinde düzenlenmiş 60 karbon atomundan oluşur.

Bilim adamları yıldızlararası tozu araştırdıkları 1985 yılında keşfedildi. Benzer görünüşlü binalar inşa etmesiyle ünlü mimar Buckminster Fuller'ın ardından “Buckyball” (veya Buckminsterfullerene) adını verdiler.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

Çoğu kristal atomlarını tetrahedra , küpler veya oktahedradan oluşan düzenli bir ızgarada düzenler. Çatladıkları veya parçalandıklarında, bu şekilleri daha büyük ölçekte görebilirsiniz.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

Tetrahedra ve oktahedra inanılmaz derecede sert ve kararlıdır, bu da onları inşaatta çok yararlı kılar. Uzay çerçeveleri , büyük çatıları ve ağır köprüleri destekleyebilen çokgen yapılardır.

Football

Polygonal role-playing dice

Platonik katılar da zar oluşturmak için kullanılır. simetrileri nedeniyle, her iki tarafın yukarı bakma olasılığı vardır - bu yüzden zarlar adil.

Kesik Icosahedron muhtemelen dünyanın en ünlü polihedronudur: futbolun şekli.