Çokgenler ve ÇokyüzlülerPlatonik Katılar

Bu dersin başlangıcında, düzenli çokgenleri özellikle tüm kenarların ve açıların aynı olduğu “simetrik” çokgenler olarak tanımladık. Çokyüzlü için benzer bir şey yapabiliriz.

Normal bir polihedronda tüm yüzler aynı türdeki çokgenlerdir ve aynı sayıda yüz her tepe noktasında toplanır. Bu iki özelliğe sahip olan polihedra , Yunan filozofu Platon'un adını taşıyan Platonik katılar olarak adlandırılır.

Peki Platonik katılar neye benziyor - ve kaç tanesi var? Üç boyutlu bir şekil yapmak için, her tepe noktasında buluşmak için en az yüze ihtiyacımız var. Sistematik olarak en küçük düzenli çokgenle başlayalım: eşkenar üçgenler:

Ve her tepe noktasında yedi veya daha fazla üçgen de yeni polihedra üretmez: bir tepe noktasında o kadar çok üçgene sığacak kadar yer yoktur.

Bu, üçgenlerden oluşan Platonik katı bulduğumuz anlamına gelir. Bir sonraki normal çokgene geçelim: kareler.

Sonra, düzenli beşgenleri deneyelim:

Her köşede beşgen toplanırsa, Dodecahedron'u alırız. yüzü vardır. (“Dodeca” Yunanca “on iki” anlamına gelir.)

Denenecek bir sonraki normal çokgen altıgenler:

Her köşede üç altıgen buluşuyorsa, hemen bir alırız çok yüzlü cisim altı yüzlü . Üçten fazla yer olmadığı için altıgenlerden oluşan hiçbir Platonik katı yoktur.

Aynı şey altıdan fazla kenarı olan tüm normal çokgenler için de geçerlidir. Mozaik vermezler ve kesinlikle üç boyutlu çokgenler almayız.

Bu, sadece Platonik katı olduğu anlamına gelir! Hepsine birlikte bakalım:

Yüzlerin ve köşelerin sayısının nasıl dikkat edin küp ve oktahedronun yanı sıra dodecahedron ve icosahedron için söz konusudur , kenar sayısı aynı kalır farklı . Bu Platonik katı çiftlerine çift katı denir.

Her yüzünü bir tepe noktasıyla ve her tepe noktasını bir yüzle “değiştirerek” bir çokyüzlüyü ikili haline getirebiliriz. Bu animasyonlar nasıl olduğunu gösterir:

Tetrahedron kendisiyle ikili. Aynı sayıda yüze ve köşeye sahip olduğundan, onları değiştirmek hiçbir şeyi değiştirmez.

Platon , Evrendeki tüm maddelerin dört elementten oluştuğuna inanıyordu: Hava, Toprak, Su ve Ateş. Her elementin Platonik katılardan birine karşılık geldiğini, beşinci elementin ise bir bütün olarak evreni temsil edeceğini düşündü. Bugün biliyoruz ki, polihedra değil, küresel atomlardan oluşan 100'den fazla farklı element var.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Arşimet Katıları

Platonik katılar özellikle önemli polihedradır, ancak sayısız başkaları da vardır.

Örneğin Arşimet katılar hala normal çokgenlerden oluşmalıdır , ancak birden fazla farklı tip kullanabilirsiniz. Başka bir Yunan matematikçi olan Syracuse Arşimetlerinin adını alıyorlar ve bunlardan 13 tane var:

Uygulamalar

Platon, tüm elementlerin Platonik katılardan oluştuğuna inanmakta yanlıştı. Ancak düzenli polihedra, doğada başka yerlerde görünmelerini sağlayan birçok özel özelliğe sahiptir - ve bu özellikleri bilim ve mühendislikte kopyalayabiliriz.