Sözlük

Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…

Çokgenler ve Çokyüzlüdörtgenler

Okuma zamanı: ~45 min

Bir önceki derste üçgenlerin birçok farklı özelliğini araştırdık. Şimdi dörtgenlere bakalım.

Düzenli dörtgenlere denir . Tüm kenarları aynı uzunlukta ve tüm açıları eşit.

Bir kare , dört eşit kenar ve dört eşit açıya sahip bir dörtgendir.

Biraz daha az düzenli dörtgenler için iki seçeneğimiz var. Sadece açıların eşit olmasını istiyorsak, bir dikdörtgen elde ederiz. Sadece tarafların eşit olmasını istiyorsak, bir eşkenar dörtgen elde ederiz.

Dikdörtgen , dört eşit açıya sahip bir dörtgendir.

Eşkenar dörtgen dört eşit tarafa sahip bir dörtgendir.

Daha az düzenli olan ancak yine de bazı önemli özelliklere sahip olan birkaç dörtlü daha vardır:

Her iki karşı taraf çifti paralel ise , bir Paralelkenar alırız.

İki çift bitişik kenar aynı uzunlukta ise, bir Uçurtma elde ederiz.

En az bir çift karşı taraf paralelse , bir Trapezium alırız.

Dörtgenler bu kategorilerin çoğuna girebilir. Farklı dörtlü tiplerin hiyerarşisini bir Venn diyagramı olarak görselleştirebiliriz:

Örneğin, her dikdörtgen aynı zamanda bir ve her da bir uçurtmadır. Bir eşkenar dörtgen kare ve dikdörtgen her yamuk.

Herhangi bir belirsizlikten kaçınmak için genellikle en spesifik türü kullanırız.

Şimdi soldaki gri kutuda herhangi bir yerde dört nokta seçin. Hepsini dörtgen oluşturacak şekilde bağlayabiliriz.

Dört tarafın her birinin orta noktasını bulalım. Orta noktaları bağlarsak, elde ederiz .

Dış dörtgenlerin köşelerini hareket ettirmeyi deneyin ve daha küçük olana ne olduğunu gözlemleyin. Sadece herhangi bir dörtgen değil, her zaman bir gibi görünüyor !

Ama neden böyle? Herhangi bir dörtgenin sonucu neden hep paralelkenar olur? Açıklamamıza yardımcı olmak için orijinal dörtgenin köşegenlerinden birini çizmemiz gerekiyor.

Köşegen dörtgeni iki üçgene böler. Ve şimdi iç dörtgenin iki tarafının aslında bölümler olduğunu bu üçgenlerin .

Önceki derste , bir üçgenin orta bölümlerinin her zaman tabanına paralel olduğunu göstermiştik. Bu durumda, bu iki tarafın da köşeye paralel olduğu anlamına gelir - bu nedenle de olmalıdırlar .

Her iki karşı taraf çiftinin paralel olduğunu göstermek için dörtgenin ikinci köşegeniyle aynısını yapabiliriz. Ve bu, iç dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlamamız gereken tek şey.

Parallelograms

Paralelkenarların zıt tarafların paralel olması dışında birçok ilginç özelliği olduğu ortaya çıkıyor. Aşağıdaki altı ifadeden hangisi doğrudur?

The opposite sides are congruent.
The internal angles are always less than 90°.
The diagonals bisect the internal angles.
The opposite angles are congruent.
Both diagonals are congruent.
Adjacent sides have the same length
The two diagonals bisect each other in the middle.

Tabii ki, sadece bu özellikleri “gözlemlemek” yeterli değildir. Her zaman doğru olduklarından emin olmak için, bunları kanıtlamamız gerekir:

Yanlar ve Açılar

Paralelkenarın karşıt kenarlarının ve açılarının her zaman uyumlu olduğunu kanıtlamaya çalışalım.

Paralelkenarın köşegenlerinden birini çizerek başlayın.

Diyagonal, paralelkenarın kenarlarıyla dört yeni açı oluşturur. İki kırmızı açı ve iki mavi açı alternatif açılardır , bu yüzden her biri olmalıdır .

Şimdi, köşegen tarafından oluşturulan iki üçgene bakarsak, iki uyumlu açıya ve bir uyumlu tarafa sahip olduklarını görürüz. uyum koşulu, her iki üçgen de uyumlu olmalıdır.

Bu, üçgenlerin diğer karşılık gelen kısımlarının da uyumlu olması gerektiği anlamına gelir: özellikle, her iki karşıt taraf çifti da uyumludur ve her iki karşıt açı çifti de uyumludur.

Bunun tersinin de geçerli olduğu ortaya çıkıyor: eğer bir dörtgen içinde her iki karşıt taraf çifti (veya açıları) uyumlu ise, o zaman dörtgen paralelkenar olmalıdır.

diyagonallar

Şimdi bir paralelkenardaki iki köşegeninin birbirini ikiye böldüğünü kanıtlayın.

Çaprazların oluşturduğu iki sarı üçgeni düşünelim:

  • İki yeşil tarafın uyumlu olduğunu kanıtladık, çünkü paralelkenarın karşıt taraflarıdır. * İki kırmızı açı ve iki mavi açı uyumludur, çünkü bunlar .

koşulu, bu nedenle her iki sarı üçgen de uyumlu olmalıdır.

Şimdi uyumlu üçgenlerin karşılık gelen kısımlarının da uyumlu olduğu gerçeğini kullanabiliriz, AM = CM ve BM = DM . Başka bir deyişle, iki köşegen orta noktalarında kesişir.

Daha önce olduğu gibi, bunun tersi de doğrudur: eğer bir dörtgen ikisinin iki köşesi birbirini keserse, dörtgen bir paralelkenardır.

Uçurtmalar

Yukarıda iki çift bir paralelkenarın yanları uyumludur. Bir uçurtmada, iki çift bitişik taraf birbirine uygundur.

Uçurtma adı açıkça şeklinden geliyor: gökyüzünde uçabileceğiniz uçurtmalara benziyor. Bununla birlikte, şimdiye kadar gördüğümüz tüm özel dörtgenler arasında, uçurtma da içbükey olabilen tek kişidir: bir dart veya ok gibi şekillendirilirse:

Dışbükey bir uçurtma

Ok gibi görünen içbükey bir uçurtma

Tüm uçurtmaların olduğunu fark etmiş olabilirsiniz . Simetri ekseni .

Köşegen, uçurtmayı iki uyumlu üçgene böler. SSS koşulundan uyumlu olduklarını biliyoruz: her iki üçgenin de üç uyumlu tarafı vardır (kırmızı, yeşil ve mavi).

CPOCT kullanarak, ilgili açıların aynı zamanda uyumlu olması gerektiğini biliyoruz.

Bu, örneğin, diyagonalin bir olduğu anlamına gelir. uçlarında iki açının .

Daha da ileri gidebiliriz: diğer diyagonal çizersek, iki tane daha küçük üçgen elde ederiz. SAS durumu nedeniyle bunlar da uyumlu olmalıdır: aynı iki tarafa ve dahil edilmiş açıya sahiptirler .

Bu demektir ki bu açı α da P açısı ile aynı olmalıdır. Bitişik olduklarından, hem a hem de lementary ek açıları ° olmalıdır.

Başka bir deyişle, bir uçurtmanın köşegenleri her zaman .

Dörtgen Alanı

Bir önceki derste üçgen alanını hesaplarken, onu bir dönüştürme hilesini kullandık . Bazı quadrilaterallar için de bunu yapabileceğimiz ortaya çıkıyor:

Paralelkenar

Solda, paralelkenar ile aynı alana sahip bir dikdörtgen çizmeye çalışın.

Soldaki eksik üçgenin olduğunu görebiliyor musunuz? sağdaki üst üste binen üçgenden ? Bu nedenle paralelkenarın alanı

Alan = baz × yükseklik

Paralelkenarın yüksekliğini ölçerken dikkatli olun: genellikle iki taraftan biri ile aynı değildir.

yamuk

Yamukların bir çift paralel tarafı olan dörtgenler olduğunu hatırlayın. Bu paralel taraflara yamuk tabanları denir.

Daha önce olduğu gibi, bu yamuk ile aynı alana sahip bir dikdörtgen çizmeye çalışın. Soldaki ve sağdaki eksik ve eklenen üçgenlerin nasıl iptal edildiğini görebiliyor musunuz?

bu dikdörtgenin yüksekliği trapezin paralel kenarlarının .

dikdörtgenin genişliği arasındaki mesafedir iki paralel olmayan kenarının . Buna trapezyumun orta bölümü denir.

Üçgenlerde olduğu gibi, bir yamuğun orta bölümü iki tabanı ile . Orta bölümün uzunluğu, tabanların uzunluklarının ortalamasıdır: a+c2 .

Tüm bunları birleştirirsek, a ve c paralel kenarları ve yüksekliği h olan bir yamuk alanı için bir denklem elde ederiz:

A=h×a+c2

Uçurtma

Bu uçurtmada, iki köşegen uçurtmayı çevreleyen büyük bir dikdörtgenin genişliğini ve yüksekliğini oluşturur.

Bu dikdörtgenin alanı uçurtma alanının . Uçurtmayı oluşturan dört üçgenin her birinin, onun dışındaki dört boşlukla nasıl aynı olduğunu görebiliyor musunuz?

Bu diyagonal bir uçurtma alanı anlamına gelir d1 ve d2

Alan = 12 d1 × d2 .

Eşkenar dörtgen

Eşkenar dörtgen, dört uyumlu kenarı olan bir dörtgendir. Her eşkenar dörtgenin olduğunu hatırlayabilirsiniz. - ve ayrıca bir .

Bu, bir eşkenar dörtgen alanını bulmak için, bir paralelkenar alanı veya bir uçurtma alanı için denklemi kullanabileceğimiz anlamına gelir:

Alan = baz × yükseklik = 12 d1 × d2 .

Farklı bağlamlarda, bir Rhombus'un farklı kısımları (kenarlar, yükseklik, köşegenler) verilebilir ve hangi denklemin daha uygun olduğunu seçmelisiniz.