Sözlük

Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…

Çokgenler ve ÇokyüzlüÇokgenler

Okuma zamanı: ~35 min

Çokgen , yalnızca düz kenarları olan kapalı, düz bir şekildir. Çokgenlerin herhangi bir sayıda kenarı ve açısı olabilir, ancak kenarlar kavisli olamaz. Aşağıdaki şekillerden hangileri çokgenlerdir?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

Kaç tarafına bağlı olarak çokgenlere farklı isimler veriyoruz:

number-3

Triangle
3 sides

number-4

Quadrilateral
4 sides

number-5

Pentagon
5 sides

number-6

Hexagon
6 sides

number-7

Heptagon
7 sides

number-8

Octagon
8 sides

Çokgenlerde Açılar

N kenarlı her çokgenin de n iç açısı vardır . Üçgendeki iç açıların toplamının her zaman ° olduğunu biliyoruz, ama diğer çokgenler ne olacak?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

Dörtgen içindeki iç açıların toplamı her zaman ° 'dir - tam olarak açıların toplamının . Bu bir tesadüf değildir: her dörtgen iki üçgene ayrılabilir.

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

Aynı şey daha büyük çokgenler için de geçerlidir. Bir beşgeni üçgene bölebiliriz, böylece iç açı toplamı 3×180°= °. Ve bir altıgeni üçgene bölebiliriz, böylece iç açı toplamı 4×180°= °.

İle bir çokgen ${x} kenarların iç açı toplamı 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. Daha genel olarak, n kenarlı bir çokgen bölünebilir üçgenler. Bu nedenle,

N -gon içindeki iç açıların toplamı =n2×180° .

Konveks ve Konkav Çokgenler

Çokgenin “içe dönük” bir bölümü varsa içbükey olduğunu söylüyoruz. Bu bölümün “içine girmiş” olduğunu hayal edebilirsiniz. İçbükey olmayan çokgenlere dışbükey denir.

İçbükey çokgenleri kolayca tanımlamanın iki yolu vardır: 180° 'den daha büyük en az bir iç açıya sahiptirler . Ayrıca çokgenin dışında en az bir köşegenleri vardır .

Dışbükey çokgenlerde, tüm iç açılar ° 'den daha azdır ve tüm köşegenler çokgen .

Bu çokgenlerden hangileri içbükeydir?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

Düzenli Çokgenler

Tüm kenarları aynı uzunlukta ve tüm açıların aynı boyuta sahip olması durumunda bir çokgenin düzenli olduğunu söylüyoruz. Bu şekillerin hangileri düzenli çokgenlerdir?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

Düzenli çokgenler birçok farklı boyutta olabilir - ancak aynı sayıda tarafa sahip tüm normal çokgenler !

Çokgenlerdeki tüm iç açıların toplamını zaten biliyoruz. Normal çokgenler için tüm bu açılar , böylece tek bir iç açının boyutunu hesaplayabiliriz:

açı = = 180°×x2x=180°360°x .

Eğer n=3 bir eşkenar üçgenin iç açılarının boyutunu elde ederiz - bunun ° olması gerektiğini zaten biliyoruz. İle düzenli bir çokgende ${x} yanlar, her iç açı 180° - 360°${x} = ${round(180-360/x)}°.

Düzenli Çokgenlerin Alanı

Burada düzenli bir çokgen görebilirsiniz. ${n} taraf. Her tarafın uzunluğu vardır 1m . Alanını hesaplamaya çalışalım!

İlk olarak, çokgeni bölebiliriz ${toWord(n)} uyumlu, üçgenler.

zaten biliyoruz bu üçgenlerin , ama aynı zamanda ihtiyacımız var alanını hesaplayabilme. Normal çokgenlerde, bu yüksekliğe bazen apothem .

Apothem ve ikizkenar üçgenin yarısının tabanının oluşturduğu dik açılı bir üçgen olduğuna dikkat edin. Bu, trigonometri kullanabileceğimiz anlamına gelir!

İkizkenar üçgenin taban açıları (Onları a adlandıralım) çokgenin iç açılarının büyüklüğünde:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

Apothem'i bulmak için tanımını kullanabiliriz :

tanα=oppositeadjacent=

apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Şimdi, ikizkenar üçgenin alanı

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Çokgen aşağıdakilerden oluşur ${toWord(n)} hepsi aynı alana sahip olan bu ikizkenar üçgenlerden. Bu nedenle, çokgenin toplam alanı

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2