Dönüşümler ve SimetriSimetri Grupları ve Duvarkağıdı Grupları

Bazı şekiller birden fazla simetriye sahiptir – basit bir örnek olarak kareye bir göz atalım.

Yukarıda karenin yansıma doğrusu olduğunu gösterdiniz.

Ayrıca °, ° ve °‘lik döndürme simetrisine de sahiptir.

Ve son olarak, “hiçbir şey yapmamayı” başka bir özel simetri çeşidi olarak düşünebiliriz – çünkü sonuç, öncekiyle (açıkça) aynı olacak. Bu bazen etkisiz eleman olarak adlandırılır.

Toplamda, farklı “kare simetrisi” bulduk.

Şimdi bu simetrilerle biraz aritmetik yapmaya başlayabiliriz. Örneğin, yeni bir simetri elde etmek için iki simetriyi toplayabiliriz.

+=

+=

Karenin iki simetrisini topladığınız zaman yeni bir tanesine ulaşırsınız. İşte kendiniz deneyebilmeniz için “simetri hesap makinesi”:

+

=

×

+

+

+

+

+

+

+

+

Simetri hesap makinesiyle biraz zaman harcayın ve her bir yönlendirmeyi bulmayı deneyin. Bu gözlemleri tamamlayabilir misiniz?

• İki döndürmeyi topladığınızda daima bir döndürmebir yansıma (veya etkisiz eleman).
• İki yansımayı topladığınızda daima bir döndürmebir yansıma (veya etkisiz eleman).
• Aynı iki simetriyi ters sırayla topladığınızda bazen farklı bir sonuçdaima farklı bir sonuçdaima aynı sonucu verir.
• Etkisiz elemanını eklemek hiçbir şeyi değiştirmezbir yansıma verirtersini verir.

Daha önce simetrileri toplamanın aslında tam sayıları toplamaya benzediğini fark etmiş olabilirsiniz:

1. simetrileri/tam sayıları toplamak daima başka bir simetri/tam sayı verir:
   +=
   12+7=19
   Devam
2. simetrileri/tam sayıları toplama işlemi birleşme özelliğine sahiptir:
   ++=++
   4+2+5=4+2+5
   Devam
3. Her simetrinin/tam sayının , simetri/tam sayı olan bir tersi vardır ve toplandıklarında etkisiz elemanı verir:
   +=
   4+–4=0
   Devam

Matematikte, bu özelliklere sahip her koleksiyon grup olarak adlandırılır. Bazı gruplar (karenin simetrileri gibi) sadece sonlu sayıda elemana sahiptir. Diğerleri (tam sayılar gibi) sonsuz elemana sahiptir.

Bu örnekte, karenin sekiz simetrisiyle başladık. Aslında, her geometrik şekil kendi simetri grubuna sahiptir. Hepsinin farklı elemanları vardır fakat daima yukarıdaki üç kuralı sağlarlar.

Gruplar matematikte her zaman karşımıza çıkar. Elemanlar sayılar ya da simetriler olabilir, veya polinomlar, permütasyonlar, matrisler, fonksiyonlar… üç kuralı sağlayan herhangi bir şey olabilir. Grup Teori’nin kilit noktası tek tek elemanlarla değil elemanların birbirlerini nasıl etkiledikleriyle ilgilenmektir.

Örneğin, farklı moleküllerin simetri grubu bilim insanlarına ilgili materyallerin özelliklerini tahmin etme ve açıklama konusunda yardımcı olabilir.

Gruplar tahta oyunlarını kazanma stratejisinin, virüslerin davranışlarının, müzikteki farklı harmonilerin analizinde ve başka birçok alanda da kullanılır...

CCl₄ molekülünün özellikleri (solda) ve Adenovirüs (sağda) simetrileriyle belirlenmiştir.

Duvarkağıdı Grupları

Önceki bölümlerde iki çeşit simetriyi ele aldık, bunlar iki farklı dönüşüme karşılık geliyordu: Döndürme ve yansıtma. Ancak üçüncü bir simetri türü daha var, bu da üçüncü çeşit bir dönüşüme karşılık gelir: ötelemespintakla.

Öteleme simetrisi çiçekler, kelebekler gibi tek başına ele alınan nesnelerde ortaya çıkmaz, ama her yöne devam eden düzenli örüntülerde ortaya çıkar:

Altıgen bal peteği

Seramik duvar kaplaması

Yansıtma, döndürme ve öteleme simetrilerinin dışında dördüncü bir simetri çeşidi bile vardır:: kaydırıp yansıtma. Bu aslında yansıtma ve yansıtma doğrusu ile aynı yönde bir kaydırmanın birleşiminden oluşur.

Bir örüntü birden fazla simetri çeşidine sahip olabilir. Ve aynen kare için yaptığımız gibi, bir örüntünün de simetri grubununu bulabiliriz. Bu grup örüntünün bütün simetrilerini içerir.

Böyle gruplar bir örüntünün nasıl göründüğü(örneğin renkleri ve şekilleri) hakkında pek bir şey söylemez, sadece nasıl tekrar ettiğini söyler. Birden çok örüntü aynı simetri grubuna sahip olabilir, yalnızca aynı şekilde dizilip tekrar etmeleri yeterlidir.

Simetriler renklerle ya da yüzeysel şekillerle ilgili değildir. Farklı görüntülerine rağmen bu iki örüntü aynı simetrilere sahiptir.

Bu iki örüntü, birbirlerinden çok soldaki örüntülere benzemelerine rağmen, aslında aynı simetrilere sahiptirler.

Sonsuz farklı örüntü düşünebilmemize rağmen, aslında toplamda sadece 17 tane simetri grubu olduğu keşfedildi. Bunlara Duvarkağıdı Grupları diyoruz. Her duvarkağıdı grubu öteleme, döndürme, yansıtma ve kaydırarak yansıtmaların bir kombinasyonu ile tanımlanır. Bu örneklerdeki döndürme merkezlerini ve yansıtma eksenlerini görebiliyor musunuz?

P1 tipi
Sadece ötelemeler

P2 tipi
2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

P3 tipi
2 dereceli(180°) dört döndürme, ötelemeler

P4 tipi
3 dereceli(120°) döndürmeler, ötelemeler

P6 tipi
2, 3 ve 6(60°) dereceli döndürmeler, ötelemeler

PM tipi
Paralel yansıtma eksenleri, ötelemeler

PMM tipi
Dik yansımalar, 2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

P4M tipi
(2 + 4 dereceli) Döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

P6M tipi
(2 + 6 dereceli) Döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

P3M1 tipi
3 dereceli döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

P31M tipi
3 dereceli döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

P4G tipi
(2 + 4 dereceli) Döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

CMM tipi
Dik yansıtmalar, 2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

PMG tipi
Yansımalar, kaydırıp yansıtmalar, 2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

PG tipi
Paralel kaydırıp yansıtmalar, ötelemeler

CM tipi
Yansımalar, kaydırıp yansıtmalar, ötelemeler

PGG tipi
Dik kaydırıp yansıtmalar, 2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

Maalesef bu gruplardan neden 17 tane olduğunun basit bir açıklaması yok. Bunun kanıtlanması da çok daha ileri seviyede matematik gerektiriyor...

Onun yerine, 17 duvarkağıdı grubuna karşılık gelen kendi örüntülerinizi çizmeyi deneyebilirsiniz.