Sözlük

Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…

Çizgeler ve AğlarDüzlemsel Çizgeler

Okuma zamanı: ~20 min

İşte size çizgelerle ilgili başka bir bulmaca.

Küçük bir kasabada su, elektrik ve gaz üreten üç üretim merkezi var. Ve aynı kasabada hizmet bekleyen üç ev var. Ne yazık ki kasabanın alt yapısından dolayı boruların ve kabloların birbirinin üstünden geçmesine olanak yok.

Bu üretim merkezlerinin her birini evlerin her biri ile çizgileri kesiştirmeden bağlamaya çalışın:

Daha önceki Königsberg köprüleri gibi bu problemin de imkansız olduğunu çabucak fark edebilirsiniz. Sanki kimi çizgeler düzlemde kesişmeyen çizgiler ile çizilebilirken (bunlara düzlemsel çizge denir) kimileri için bu mümkün değil gibi görünüyor.

K3 düzlemsel.

K4 .

K5 .

Tam çizge K5 düzlemsel olmayan en küçük çizge. K5i bir şekilde alt çizgesi olarak içeren hiç bir çizge de düzlemsel değildir. Bu liste K6, K7 ve daha büyük diğer tam çizgeleri de içeriyor.

Yukarıda baktığımız soru K3,3 ikili çizgesi ile ilgili. Biraz çalışarak şunu göstermek mümkün: Düzlemsel olmayan her çizge ya K5i ya K3,3ü ya da bunların bir bölümlenmesini alt çizge olarak içermek zorunda.

Düzlemsellik

Bu düzlemsel bir çizge, ancak ${n} noktası karıştırılmış durumda. Bu noktaları hiç bir çizgi bir diğerine değmeyecek şekilde yeniden sıralayın.

Euler Formülü

Bütün çizgeler çizildikleri düzlemi bölgelere ayırırlar, bu bölgelere yüzler denir.

Köşe
Yüz
Çizgi
11 Nokta + Yüz

Köşe
Yüz
Çizgi
15 Nokta + Yüz

Köşe
Yüz
Çizgi
25 Nokta + Yüz

Bu sayıları karşılaştırırken çizgi sayısının her zaman yüz sayısı artı nokta sayısından olduğuna dikkat edin. Başka bir deyişle Y + N = Ç + 1. Bu sonuca Euler denklemi denir ve adını Köningsberg Köprüsü problemini çözen aynı matematikçiden alır.

Ne yazık ki sonsuz sayıda çizge var ve Euler denkleminin çalışıp çalışmadığını görmek için hepsini tek tek kontrol edemeyiz. Ancak onun yerine herhangi bir çizge için çalışacak basit bir kanıt arayabiliriz...

YNÇ
010

0 + 1  =  0 + 1

En basit çizge tek bir noktadan oluşur. Bunun için Euler denkleminin çalıştığını görebiliriz.

Hadi çizgemize yeni bir nokta ekleyelim. Tabi bir çizgi de eklememiz gerek, ve Euler denklemi yine çalışıyor.

Çizgemize üçüncü bir nokta eklemek için iki seçeneğimiz var. Küçük bir üçgen yaratabiliriz: bu bir nokta, bir yüz ve iki çizgi ekler, yani Euler denklemi hala çalışır.

Ya da sadece doğrumuzu biraz daha uzatabiliriz: Bu bir nokta ve bir çizgi ekler, yani yine Euler denklemi çalışır.

Devam edelim: Eğer bir dörtgen yaparsak bir nokta, iki kenar ve bir yüz ekleriz. Euler denklemi yine çalışır.

(Sonlu) her çizge tek bir nokta ile başlayıp birer birer noktalar ekleyerek elde edilebilir. Bu noktaları nasıl eklersek ekleyelim Euler denkleminin çalıştığını gösterdik. Yani her çizge için doğru.

Kanıt için kullandığımız bu yöntemin adı matematiksel tümevarım. Bir önermeyi sonsuz durum için göstermekte çok faydalı. En basit durum için başlarız, sonra daha karmaşık durumları inşa ederken attığımız her adımda doğru kaldığını gösteririz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Çizgelerin çoğu çokyüzlülerin ağlarına benzer, çokgen yüzlere sahip üç boyutlu şekillere. Eğer çokyüzlülerin elastik bantlardan yapıldığını düşünürsek onları düz olana kadar bastırıp düz hale geldiklerini, düzlemsel çizgeye dönüştüklerini hayal edebiliriz:

Bu durumda Euler formülünü sadece düzlemsel çizgeler için değil, bütün çokyüzlüler için kullanabiliriz, sadece tek bir farkla. Çokyüzlüleri çizgeye çevirirken bir yüz yok olur: çokyüzlünün en üstteki yüzü çizgenin “dışı” haline gelir.

Başka bir deyişle herhangi bir çokyüzlünün çizgi, yüz ve nokta sayısını sayarsak Y + N = Ç + buluruz.

Onikiyüzlü
20 Yüz
12 Nokta
30 Çizgi

Rombikosidodecahedron
62 Yüz
60 Nokta
120 Çizgi

Kırpılmış Onikiyüzlü
32 Yüz (12 siyah, 20 beyaz)
60 Nokta
90 Çizgi

Archie