Çokgenler ve ÇokyüzlülerDörtgenler

Bir önceki derste üçgenlerin birçok farklı özelliğini araştırdık. Şimdi dörtgenlere bakalım.

Düzgün dörtgenlere denir. Tüm kenarları aynı uzunlukta ve tüm açıları eşittir.

Bir kare , dört eşit kenar ve dört eşit açıya sahip bir dörtgendir.

Biraz daha az düzenli dörtgenler için iki seçeneğimiz var. Sadece açıların eş olmasını istiyorsak, bir dikdörtgen elde ederiz. Sadece kenararın eş olmasını istiyorsak, bir eşkenar dörtgen elde ederiz.

Dikdörtgen , dört eş açıya sahip bir dörtgendir.

Eşkenar dörtgen dört eş kenara sahip bir dörtgendir.

Daha da az düzenli olan ancak yine de bazı önemli özelliklere sahip olan birkaç dörtgen daha var:

Karşılıklı kenarları paralel ise , bir Paralelkenar elde ederiz.

İki çift bitişik kenar aynı uzunlukta ise, bir Deltoid elde ederiz.

En az bir çift karşılıklı kenar paralelse , bir Yamuk elde ederiz.

Dörtgenler aynı anda bu kategorilerin çoğuna girebilir. Farklı dörtgenlerin hiyerarşisini bir Venn diyagramı yardımıyla görselleştirebiliriz:

Örneğin, her dikdörtgen aynı zamanda bir ve her da bir deltoiddir. Bir eşkenar dörtgen kare ve bir dikdörtgen bir yamuktur.

Herhangi bir belirsizlikten kaçınmak için genellikle en spesifik adını kullanırız.

Şimdi soldaki gri kutuda herhangi dört yere noktalar yerleştirin. Bu dört noktayı dörtgen oluşturacak şekilde birleştirebiliriz.

Dört kenarın her birinin orta noktasını bulalım. Orta noktaları birleştirirsek elde ederiz .

İlk dörtgenin köşelerini hareket ettirmeyi deneyin ve daha küçük olana ne olduğunu gözlemleyin. Sadece herhangi bir dörtgen değil, her zaman bir olduğunu görüyoruz!

Ama neden böyle? Herhangi bir dörtgenin sonucu neden hep paralelkenar olur? Açıklamamıza yardımcı olmak için, orijinal dörtgenin köşegenlerinden birini çizmemiz gerekiyor.

Bir köşegen, dörtgeni iki üçgene böler. Ve şimdi iç dörtgenin iki kenarının aslında bu üçgenlerin olduğunu görebilirsiniz.

Önceki derste , bir üçgenin orta tabanlarının her zaman üçgenin tabanına paralel olduğunu göstermiştik. Bu durum, bu iki kenarın da köşegene paralel olduğu anlamına gelir - bu nedenle de olmalıdırlar.

Karşılıklı kenarların paralel olduğunu göstermek için dörtgenin ikinci köşegeniyle de aynısını yapabiliriz. Ve bu, iç dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlamamız için gereken tek şey.

Paralelkenar

Paralelkenarların karşılıklı kenarlarının paralel olması dışında birçok başka ilginç özelliği olduğu ortaya çıktı. Aşağıdaki altı ifadeden hangileri doğrudur?

Karşılıklı kenarlar eştir.

İç açılar her zaman 90° den küçüktür.

Köşegenler aynı zamanda açıortaydır

Karşılıklı açılar eştir.

Köşegenler aynı uzunluktadır.

Komşu kenarlar aynı uzunluktadır.

Köşegenler birbirini ortalar.

Tabii ki, sadece bu özellikleri “gözlemlemek” yeterli değildir. Her zaman doğru olduklarından emin olmak için, bunları kanıtlamamız gerekir:

Karşılıklı Kenarlar ve Açılar

Paralelkenarın karşıt kenarlarının ve açılarının her zaman eş olduğunu kanıtlamaya çalışalım.

Paralelkenarın köşegenlerinden birini çizerek başlayalım.

Köşegen, paralelkenarın kenarlarıyla dört yeni açı oluşturur. İki kırmızı açı ve iki mavi açı ters açılardır , bu yüzden her biri olmalıdır .

Şimdi, köşegen tarafından oluşturulan iki üçgene bakarsak, iki eş açıya ve bir eş kenara sahip olduklarını görürüz. eşlik koşulu ile, her iki üçgen de eş olmalıdır.

Bu, üçgenlerin diğer karşılık gelen kısımlarının da eş olması gerektiği anlamına gelir: özellikle, her iki karşıt kenar çifti de eştir ve her iki karşı açı çifti de eştir.

Bunun tersinin de geçerli olduğu ortaya çıkıyor: eğer bir dörtgende karşılıklı kenarlar ve açılar eş ise, o zaman bu dörtgen paralelkenardır.

Köşegenler

Şimdi bir paralelkenardaki iki köşegeninin birbirini ortaladığını kanıtlayalım.

Köşegenlerin oluşturduğu iki sarı üçgeni düşünelim:

İki yeşil kenarın eş olduğunu kanıtladık. * İki kırmızı açı ve iki mavi açı da eştir, çünkü bunlar .

koşulu ile, her iki sarı üçgen de eştir.

Şimdi eş üçgenlerin karşılık gelen kısımlarının da eş olduğu gerçeğini kullanabiliriz, AM‾ = CM‾ ve BM‾ = DM‾ . Başka bir deyişle, iki köşegen orta noktalarında kesişir.

Daha önce olduğu gibi, bunun tersi de doğrudur: eğer bir dörtgenin köşegenleri birbirini ortalarsa, dörtgen bir paralelkenardır.

Deltoidler

Yukarıda bir paralelkenarın iki çift kenarlarının eş olduğunu gördük. Bir deltoidde, iki çift bitişik taraf birbirine eştir.

Deltoid adı açıkça şeklinden geliyor: gökyüzünde uçabileceğiniz uçurtmalara benziyor. Bununla birlikte, şimdiye kadar gördüğümüz tüm özel dörtgenler arasında, bir dart veya ok gibi şekillendirilirse, deltoid içbükey olabilen tek dörtgendir:

Dışbükey bir deltoid

Ok gibi görünen içbükey bir deltoid

Tüm deltoidlerin olduğunu fark etmiş olabilirsiniz. Simetri ekseni .

Köşegen, deltoid iki eş üçgene böler. KKK koşulu ile her iki üçgenin de eş olduklarını biliyoruz. (target:sss) (kırmızı, yeşil ve mavi).

CPOCT kullanarak, ilgili açıların aynı zamanda eş olması gerektiğini biliyoruz.

Bu, örneğin, köşegenin bir olduğu anlamına gelir.

Daha da ileri gidebiliriz: diğer köşegeni çizersek, iki tane daha küçük üçgen elde ederiz. [KAK] kenar- açı-kenar (gloss:triangle-sss) koşulu nedeniyle bunlar da eş olmalıdır: aynı iki kenara ve açıya sahiptirler .

Bu demektir ki bu açı α da ß açısı ile aynı olmalıdır. Komşu ve bütünler olduklarından, hem α hem de ß ° olmalıdır.

Başka bir deyişle, bir deltoidin köşegenleri her zaman .

Dörtgenlerin Alanları

Bir önceki derste üçgen alanını hesaplarken, onu bir dönüştürme hilesini kullandık . Bazı dörtgenler için de bunu yapabiliriz.

Paralelkenar

Solda, paralelkenar ile aynı alana sahip bir dikdörtgen çizmeye çalışın.

Soldaki eksik üçgenin , sağdaki üst üste binen üçgenden olduğunu görebiliyor musunuz? Bu nedenle paralelkenarın alanı

Alan = taban × yükseklik

Paralelkenarın yüksekliğini ölçerken dikkatli olun: farklı tabanlara ait farklı yükseklikleri vardır.

Yamuk

Yamukların bir çift paralel kenarı olan dörtgenler olduğunu hatırlayın. Bu paralel kenarlara yamuk tabanları denir.

Daha önce olduğu gibi, bu yamuk ile aynı alana sahip bir dikdörtgen çizmeye çalışın. Soldaki ve sağdaki eksik ve eklenen üçgenlerin nasıl iptal edildiğini görebiliyor musunuz?

Bu dikdörtgenin yüksekliği , yamuğun paralel kenarlarının(target:bases) .

Dikdörtgenin genişliği yamuğun iki paralel olmayan kenarının arasındaki mesafedir. Buna yamuğun orta tabanı denir.

Üçgenlerde olduğu gibi, bir yamuğun orta tabanı, iki tabanı ile . Orta tabanın uzunluğu, tabanların uzunluklarının ortalamasıdır: a+c2 .

Tüm bunları birleştirirsek, a ve c paralel kenarları ve yüksekliği h olan bir yamuk alanı için bir denklem elde ederiz:

A=h×a+c2

Deltoid

Bu deltoidde, iki köşegen onu çevreleyen büyük bir dikdörtgenin genişliğini ve yüksekliğini oluşturur.

Bu dikdörtgenin alanı, deltoid alanının . Deltoidi oluşturan dört üçgenin her birinin, onun dışındaki dört boşlukla nasıl aynı olduğunu görebiliyor musunuz?

Köşegenleri d1 ve d2 olan bir deltoidin alanı

Alan = 12 d1 × d2 .

Eşkenar dörtgen

Eşkenar dörtgen, dört eş kenarı olan bir dörtgendir. Her eşkenar dörtgenin olduğunu ve ayrıca bir hatırlayabilirsiniz .

Bu, bir eşkenar dörtgen alanını bulmak için, bir paralelkenar alanı veya bir deltoid alanı için kullanılan denklemleri kullanabileceğimiz anlamına gelir:

Alan = taban × yükseklik = 12 d1 × d2 .

Farklı durumlarda, bir eşkenar dörtgenin farklı kısımları (kenarlar, yükseklik, köşegenler) verilebilir vbu durumda hangi denklemin daha uygun olduğunu seçmelisiniz.

Dili değiştir

Mathigon'da oturum açın

Paylaş

İlerlemeyi Sıfırla

Sözlük

Çokgenler ve ÇokyüzlülerDörtgenler

Paralelkenar

Karşılıklı Kenarlar ve Açılar

Köşegenler

Deltoidler

Dörtgenlerin Alanları

Paralelkenar

Yamuk

Deltoid

Eşkenar dörtgen